集合

  1. 有兩種常用的寫法: "列舉法" 適用於元素個數可數的集合, 例如 A = { 1, 3, 5, 7, 9 } ; 而 "描述法" 不論元素個數多寡均適用, 但必須有規律, 例如 A = { x : x 是小於 10 的正奇數 }
  2. "描述法" 當中, 冒號 (或一豎) 之前, 通常會出現一些變數. 有一部分變數同時也出現在冒號 (或一豎) 之後, 可以把這些變數想像成是 for 迴圈的 dummy variables, 每一組符合後面條件的 dummy variables 代入前面這個式子, 就產生集合當中的一個元素. 至於另一部分變數, 也就是並未出現在冒號後面的變數, 可以把它們想成是全域變數, 它們的值是固定的. 例如 { np | n = 1,2,3, ... } = { p, 2p, 3p, ... } 如果 p 的值是 5 那麼這個集合就是 { 5, 10, 15, 20, ... }
  3. set, element (member), is a member of (屬於), is contained in (包含於), subset, proper subset, empty set, universal set, cardinality, finite, infinite
  4. 注意「屬於」 (這個元素在右邊那個集合裡面可以找得到) 和「包含於」 (這個集合內的每個元素在右邊那個集合裡面可以找得到) 的差別: 若 A = { {1,2}, {3,4} }, 則以下各集合究竟屬於抑或包含於 A? {2,1}, {{2,1}}, {2,3}, {{2,3}}
  5. 例: 試列舉出 A = { q/p-p/q | p^2+q^2 <= 5, p,q are in N } 的所有元素.
  6. 用「描述特性」的方式定義集合時, 把條件部分的每個變數想像成 for 迴圈的一個 dummy variable. 把所有元素列出, 並只保留符合條件的元素. 若有兩個以上變數, 則想像成重疊的 for 迴圈.
  7. power set (冪集合): 2^A = { S | S is contained in A } 例: A = { 2, 3, 5 }, 試問 {2,3} 與 A 的關係, 及 {2,3} 與 2^A 的關係.
  8. 數學中常見的集合: N 自然數, Z 整數, Q 有理數, R 實數, C 複數
  9. 集合的大小 (元素個數): 0, 1, 2, 3, ... N, 2^N, 2^(2^N), ... 特別提醒: |Q| = |Z| = |N|, 而 |R| = |2^N|.
  10. 如何證明兩個集合 A 與 B 相等? 分別證明 A 包含於 B 及 B 包含於 A.
  11. intersection, union, difference, complement, symmetric difference, disjoint (mutually exclusive)
  12. 例: 若以 N 為 universal set, 並令 A = { 3, 6, 9, 12 ...} 令 B = { 5n-1 | n is in N }, 試求 (A 與 B 的 symmetric difference) 的 complement.
  13. 提示: 分析複雜的運算式, 要把握「不想從前, 不看未來」的原則.
  14. 不要背集合運算的公式. 要畫 Venn Diagram 自己下結論.
  15. 不要背 principle of inclusion and exclusion (排容原理). 畫 Venn Diagram 自己推導.
  16. 如何比較無限集合的大小? 看看是否可找到一對一的對應關係 (one-to-one correspondence).
  17. N, Z, Q 一樣大. 和它們一樣大或更小的集合叫做 countable; 比它們大的集合叫做 uncountable.
  18. R, C 一樣大.
  19. R 比 N 大 (所以是 uncountable) 這個證法叫做 diagonalization.
  20. 推論: 每個集合的 power set 都比原集合大.